ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
При вычислении определенного интеграла функции f(x) на промежутке от a до b, где f(x) — непрерывная на данном отрезке функция, можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:
[ \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) ]
где F(x) — первообразная интегрируемой функции. Однако на практике не всегда удается найти первообразную в аналитической форме, но значение определенного интеграла всегда можно довести до численного значения. Таким образом, одной из задач численного интегрирования понимают приближенное вычисление значений интеграла при условии непрерывности подынтегральной функции. В этом случае для вычисления определенного интеграла следует помнить геометрический смысл вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла равно площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью OX и прямыми x=a и x=b. Для приближенного интегрирования существует много численных методов. Рассмотрим некоторые из них.
МЕТОД ЛЕВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей с шагом ( h = \frac{b-a}{n} ). Для вычисления интеграла по формуле левых прямоугольников получаем следующую формулу:
[ I = h \sum_{i=0}^{n-1}f(x_i), \quad x_i=a+i\cdot h, \quad i=0, 1, \ldots, n-1 ]
[ \text{Рис. 1. Иллюстрация к методу левых прямоугольников} ]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ
Вычисление интеграла с заданной точностью t предполагает, что для различного количества ( n ), например n=5, 10, 15, 20, вычисляются значения J, по одному из выше описанных численных методов, т.е. имеются ряд значений интеграла:
[ I_0, I_1, I_2, \ldots, I_n, I_{n+1}, \ldots ]
Тогда в качестве результата расчета можно полагать ( I_k ), если после (k+1) расчётной итерации выполняется следующее условие:
[ |I_k - I_{k-1}| \leq t ]
В качестве начального приближения интеграла, если ( x \in [a, b] ), можно взять значение
[ I_0 = f(a)\cdot (b-a) ]
для метода левых интегралов, рассчитывающее по следующей формуле I, где r=1. Для других методов несложно получить аналогичные формулы прямоугольников для r = 1.
ЗАДАНИЕ
ПОДПРОГРАММЫ С ПАРАМЕТРАМИ ПРОЦЕДУРНОГО ТИПА
В соответствии с заданными преподавателем двумя методами численных вычислений и вариантом индивидуального задания разработать программу для вычисления интеграла.
Для вычисления подынтегральных функций и вычисления непосредственно интеграла использовать функции с процедурными параметрами. Интегралы вычислять с точностью: (\varepsilon = 10^{-2}, 10^{-5}). Результаты расчетов свести в таблицу вида:
[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{1-ый метод} & \text{2-ой метод} \ \hline \varepsilon=10^{-2} & \varepsilon=10^{-5} & \varepsilon=10^{-2} & \varepsilon=10^{-5} \ \text{значение} & N & \text{значение} & N \ \hline \text{1-ый интеграл} & & & \ \text{2-ой интеграл} & & & \ \text{3-ий интеграл} & & & \ \text{4-ый интеграл} & & & \ \hline \end{array} ]
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
При вычислении определенного интеграла функции ( f(x) ) на промежутке от ( a ) до ( b ), где ( f(x) ) — непрерывная на данном отрезке функция, можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница:
[ \int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a) ]
где ( F(x) ) — первообразная интегрируемой функции. Однако на практике не всегда удается найти первообразную в аналитической форме, но значение определенного интеграла всегда можно довести до числового ответа. Таким образом, одной из задач численного интегрирования понимают: приближенное вычисление значений интеграла при условии, что известны значения подынтегральной функции. При вычислении определенного интеграла следует помнить геометрический смысл вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла равно площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью ( OX ) и прямыми ( x=a ) и ( x=b ). Для приближенного интегрирования существует много численных методов. Рассмотрим некоторые из них.
МЕТОД ТРАПЕЦИЙ
Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей с шагом ( h = \frac{b-a}{n} ). Для вычисления интеграла по формуле трапеций получаем следующую формулу:
[ I = h\left(\frac{y_0 + y_1}{2} + y_2 + \ldots + \frac{y_{n-1} + y_n}{2}\right) = h \sum_{i=1}^{n} f(x_i), \quad x_i=a+i\cdot h, \quad i=0, n ]
Рис. 4. Иллюстрация к методу трапеций
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ
Вычисление интеграла с заданной точностью ε предполагает, что для различного количества n — интервалов разбиения, например, n=5, 10, 15, 20, вычисляется площадь по одному из выше описанных численных методов, т.е. имеется ряд значений интеграла ( I_0, I_1, I_2, \ldots, I_n, I_{n+1}, \ldots ). Тогда в качестве результата расчета можно полагать ( I_{k+1} ), если после (k+1) расчетной итерации выполняется следующее условие:
[ |I_k - I_{k-1}| \leq \varepsilon ]
В качестве начального приближения интеграла, т.е. ( I_0 ), можно взять значение интеграла, рассчитанное по следующей формуле:
[ I_0 = f(a)\cdot (b-a) ]
для метода левых интегралов, рассчитанное по следующей формуле I, где n=1. Для других методов несложно получить аналогичные формулы прямоугольников для n=1.
[ \int_{0.6}^{1.4} \frac{\sqrt{x^2+5}}{2x+\sqrt{x^2+0.5}} , dx \quad \int_{0.2}^{0.8} \frac{\sin(2x+0.5)}{2+\cos(x^2+1)} , dx ]
[ \int_{0.8}^{1.6} \frac{1}{\sqrt{2x^2+1}} , dx \quad \int_{1.2}^{2} \frac{\ln(x+2)}{x} , dx ]
| 1ый метод | 1ый метод | 1ый метод | 1ый метод | 2ой метод | 2ой метод | 2ой метод | 2ой метод | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| eps=10^-2 | eps=10^-2 | eps=10^-3 | eps=10^-3 | eps=10^-2 | eps=10^-2 | eps=10^-3 | eps=10^-3 | |
| значение | N | значение | N | значение | N | значение | N | |
| 1ый интеграл | ||||||||
| 2ой интеграл | ||||||||
| 3ий интеграл | ||||||||
| 4ый интеграл |